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Friday, 25 January 2019

[PDF*] गणित (क्रमचय और संचय) की सबसे आसान ट्रिक उदाहरण सहित पीडीएफ डाउनलोड in Hindi

[PDF*] क्रमचय और संचय फार्मूला और ट्रिक उदाहरण सहित पीडीएफ डाउनलोड in Hindi

क्रमचय और संचय छोटी चाल पीडीएफ डाउनलोड। गणित पी एंड सी लघु चाल डाउनलोड समस्या और समाधान के साथ गणित के आसान और स्मार्ट ट्रिक (क्रमचय और संचय)। 

आप इन नोटों का पीडीएफ डाउनलोड कर सकते हैं, लिंक नीचे दिए गए हैं। गणित के योगों को हल करने का संक्षिप्त तरीका लेख में दिया गया है।

क्रमचय और संचय PDF

गणित के कुछ महत्वपूर्ण नियमों और चालों पर एक नज़र डालें (क्रमचय और संचय) के सामान्य नियम और सूत्र 

क्रमचय और संचय

क्रमचय और संचय के तरीकों से संबंधित गणित की गणना बैंक परीक्षाओं में दी जाती है इसलिए परीक्षाओं के लिए सीखना महत्वपूर्ण है।
तथ्यात्मक संकेतन
यदि हम मानते हैं कि ‘n consider एक धनात्मक पूर्णांक है। फिर, हमने factorial n को wen या n के रूप में निरूपित किया!
n! की तरह परिभाषित किया गया है
n! = n (n-1) (n-2) …………… .3.2.1।

उदाहरण

5! = (1 x 2 x 3 x 4 x 5)
5! = 120।

4! = (1 x 2 x 3 x 4)
4! = 24।

3! = (१ x २ x ३)
3! = 6।

याद रखने वाली चीज़ें
1! = 1 [भाज्य 1 हमेशा 1 होता है]
0! = 1 [तथ्य 0 हमेशा 1 होता है]
परिवर्तन
किसी दिए गए नंबर या चीजों को एक बार में कुछ या सभी लेने की अलग-अलग व्यवस्थाओं को क्रमचय कहा जाता है।
शॉर्ट एंड बेसिक थिंक में, क्रमचय व्यवस्था है, दिए गए नंबर या अक्षर, कि हम इसे कैसे व्यवस्थित करते हैं। हम इसे एक बार में कुछ संख्या या अक्षर लेने की व्यवस्था कर सकते हैं या हम एक बार में इसे लेने की व्यवस्था कर सकते हैं।

उदाहरण

एक समय में दो लेने से (बी, सी के अक्षरों के साथ किए गए सभी क्रमचय (या व्यवस्था) हैं (एबी, बा, एसी, सीए, बीसी, सीबी)।

उदाहरण

ए, बी, सी के साथ किए गए सभी क्रमचय, एक समय में सभी ले रहे हैं: (एबीसी, एसीबी, बेक, बीकेए, कैब, सीएबीए)।
क्रमचय की संख्या
एक बार में ली गई n चीजों के सभी क्रमचय की संख्या निम्नानुसार दी गई है:
nPr = n (n-1) (n-2) …… (n-r + 1)
या
nPr = n! / (एन-आर)!

उदाहरण

5P2
5! / (5-2)!
= ५! / ३!
= (5 x 4 x 3 x 2 x 1) / (3 x 2 x 1)
= (५ x ४)
= 20।

उदाहरण

8P3
8! / (8-3)!
= 8! / ५!
= (8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) / (5 x 4 x 3 x 2 x 1)
= (= X (x ६)
= 336।

प्रश्न 1: ए, बी और सी तीन अक्षरों को कितने तरीकों से अनुमति दी जा सकती है?

हल:
तीन पत्रों के सभी संभावित 3 अक्षर क्रमचय में, पहली स्थिति में तीन अक्षरों में से कोई भी हो सकता है। पहली स्थिति में किसी पत्र को चुने जाने के 3 संभावित तरीके हैं - या तो ए, बी या सी।

सभी आदेशित व्यवस्था या क्रमचय की गणना करने की विधि

तो पहले स्थान पर 3 अक्षरों से 3 संभावित तरीकों से कब्जा किया जा सकता है।

इन 3 संभावित व्यवस्थाओं में से प्रत्येक के लिए, पहले स्थान का निर्णय पहले ही हो चुका है और हमारे पास 2 शेष अक्षर हैं जिन्हें दूसरी स्थिति में केवल 2 अलग-अलग तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।

जब हम पत्र को दूसरी स्थिति के लिए तय करते हैं, तो तीसरे स्थान के लिए पत्र स्वचालित रूप से तय किया जाता है क्योंकि शेष पत्र केवल 1 है।

इस प्रकार, कुल 3 पत्र क्रमोन्नति या विशिष्ट रूप से तीन पत्रों a, b, c, के लिए संभव व्यवस्था के आदेश दिए गए हैं,

3P3 = 3 × 2 = भाज्य (3) = 3! 3P3 = 3 × 2 = भाज्य (3) = 3!
= 3 × 2 × 1 = 6 = 3 × 2 × 1 = 6

सभी संभव 3 अक्षर क्रमचय या 3 अक्षरों की अलग व्यवस्था a, b, c हैं,
एबीसी, एसीबी, बीएसी, बीएसी, टैक्सी, सीबेक, एसीबी, बीकेए, बीए, टैक्सी, सीएबी

यदि तीन के बजाय 4 अलग-अलग अक्षर थे [a, b, c, d] [a, b, c, d], तो अक्षरों या क्रमों की व्यवस्था करने के लिए अलग-अलग तरीकों की कुल संख्या होगी,
4P4 = 4! = 244P4 = 4! = 24

केस 2:
आइए अब 4 अक्षरों में से 3 अक्षरों के सभी संभावित क्रमों के एक और मामले पर विचार करें [a, b, c, d] [a, b, c, d]। यह 4 में से 3 अलग-अलग वस्तुओं का क्रमचय है।
आदेशित व्यवस्था या क्रमचय की गणना करने की विधि
इस मामले में, पहले हमें पहले स्थिति को ठीक करने दें। हम किसी भी 4 अक्षर को पहली स्थिति में रख सकते हैं। पहली स्थिति को ठीक करने के बाद, अब हमें 3 अक्षरों के साथ छोड़ दिया जाता है और दूसरी स्थिति में हम इन 3 अक्षरों में से किसी को भी डाल सकते हैं। अंत में पहले दो पदों में से प्रत्येक को ठीक करने के बाद, हमारे पास तीसरी स्थिति के लिए 2 संभावनाएँ होंगी।

तो कुल संख्या क्रमचय,
4P3 = 4 × 3 × 2 = 24 = 4! (4-3)! 4P3 = 4 × 3 × 2 = 24 = 4! (4-3)!

इसी प्रकार, 5 विभिन्न वस्तुओं में से 3 वस्तुओं के क्रमचय की संख्या है,
5P3 = 5 × 4 × 3 = 60 = 5! (5-3)! 5P3 = 5 × 4 × 3 = 60 = 5! (5-3)!

सामान्य तौर पर, मिमी अलग-अलग वस्तुओं में से nn अलग-अलग वस्तुओं के क्रमचय की संख्या है,
एमपीएन = मीटर × (एम-1) × (एम-2) ... × (एम-n + 1) MPN = मीटर × (एम-1) × (एम-2) ... × (एम-n + 1)
= मी! (एम-एन)! = मी! (एम-एन)!

अभिव्यक्ति m × (m) 1) × (m ... 2) ... × (m × n + 1) m × (m (1) × (m) 2) ... × (m − n + 1) गुणा किया जाता है और (m) n) से विभाजित किया गया है! (m − n)! एम पाने के लिए! अंश में और (m − n)! (m! n)! हर में।

इस तरह से क्रमचय के लिए प्रसिद्ध सूत्र प्राप्त होता है। लेकिन इससे भी महत्वपूर्ण बात, यह समझना महत्वपूर्ण है कि m × (m × 1) × (m) 2) की संख्या ... × (m × n + 1) m × (m) 1) × (m) 2) … × (m + n + 1) एक व्यवस्थित पद्धति के बाद व्यवस्था या क्रमचय होते हैं।

ध्यान दें: मिमी अलग-अलग वस्तुओं से बाहर मिमी के क्रमचय की संख्या समान है (एम Number 1) (एम mm 1) मिमी अलग-अलग वस्तुओं में से।
एम पी एम = मी! (एम-एम)! = मी! 0! एम पी एम = मी! (एम-एम)! = मी! 0!
= मी! 1! = मी! [M- (एम-1)]! = एम पी एम -1 = मी! 1! = मी! [M- (एम-1)]! = एम पी एम -1

इसका मतलब है कि 4 में से 4 वस्तु क्रमचय, अर्थात 4! = 244! = 24, 4 क्रमांक में से 3 के समान है, जो कि 24 भी है।

परिभाषा से, 0! = 10! = 1।

प्रश्न 2: अंक 1, 2, 3, 4, 5 का उपयोग करके कितने 3 अंकों की संख्या बनाई जा सकती है जिसमें कोई अंक नहीं होता है?


हल: दिए गए अंकों में से 5 क्रमांक में से 3 की कुल संख्या है,
5P3 = 5! (5-3)! 5P3 = 5! (5-3)!
= 5! 2! = 5 × 4 × 3 = 60 = 5! 2! = 5 × 4 × 3 = 60

प्रश्न 3: अंकों के दोहराव के साथ अंकों 1, 2, 3, 4, 5 और 6 का उपयोग करके 300 से अधिक 3 अंकों की संख्या का गठन किया जा सकता है?

हल: यहां परिणामी संख्याओं की पहली स्थिति में संभावित अंक 3, 4, 5 या 6. होंगे। पहली स्थिति में अंक 1 या 2 परिणामी संख्या को 300 से कम कर देगा।
4 संभावित तरीकों से पहली स्थिति में अंक तय करने के बाद हमें 2 पदों और 5 अंकों के साथ छोड़ दिया जाता है। तो क्रमचय की वांछित संख्या है,
4 × 5P2 = 4 × 5! (5-2)! 4 × 5P2 = 4 × 5! (5-2)!
= 4 × 5! 3! = 4 × 5 × 4 = 80 = 4 × 5! 3! = 4 × 5 × 4 = 80

प्रश्न 4: अंकों को दोहराए बिना अंकों 2, 3, 4 और 0 में से कितने दो अंकों की संख्या बनाई जा सकती है?


हल: क्रमचय की वांछित संख्या पहली बार 4 में से 2 क्रमोन्नति से प्रतीत हो सकती है, जो कि 12 है। लेकिन अगर आप सावधान हैं तो आपको याद होगा कि संख्या की पहली स्थिति में (जो सबसे महत्वपूर्ण स्थिति है) एक 0 नजरअंदाज कर दिया है। यदि हम पहले स्थान पर 0 रखते हैं, तो परिणामी संख्या एक अंक की संख्या बन जाएगी।
इसलिए हम पहले स्थान पर केवल 3 अंक 2, 3 और 4 रख सकते हैं। बाकी अंक फिर 3 हैं और पदों की संख्या 1. यह दूसरी स्थिति फिर 3 तरीकों से भरी जा सकती है।
तो संख्याओं की वांछित संख्या 12 के बजाय 3 × 3 = 93 × 3 = 9 है।
यह पहली स्थिति में 0 के निषेध के लिए 12 से कम 3 होगा।
महत्वपूर्ण लेख:
यदि आप इस बात की अवधारणा के बारे में स्पष्ट हैं कि कैसे आदेशित व्यवस्थाएं या क्रमचय किए जाते हैं, तो आपको हमेशा इस तरह से क्रमोन्नति की समस्या का सामना करने में सक्षम होना चाहिए और केवल क्रमचय के फार्मूले का उपयोग करना चाहिए, जब इसका आवेदन बिना किसी जटिलता के बिल्कुल सीधा हो।

जैसा कि क्रमचय के सूत्र के बाद ही आप क्रमिक रूप से और थकावट से सामान्य रूप से इस विधि का पालन करते हैं, विधि मूल अवधारणा परत बनाती है जिसे बहुत स्पष्ट रूप से समझा जाना है। सूत्र तुच्छ है और विधि के परिणामों से तुरंत बाहर निकल जाएगा।

आदेशित व्यवस्था की गणना के व्यवस्थित तरीके का एक बड़ा लाभ इसकी व्यवस्था की संख्या के साथ वास्तविक व्यवस्था उत्पन्न करने की क्षमता है, जबकि सूत्र आपको केवल व्यवस्था की संख्या देगा, लेकिन वास्तविक अनुमत व्यवस्था नहीं।

उन वस्तुओं का क्रमांकन जो अलग नहीं हैं
इस मामले में, हमारे पास कुछ वस्तुएं समान हैं। आइए हम एक मिमी से बाहर मिमी के क्रमांकन पर विचार करें जिसमें पीपी ऑब्जेक्ट समान हैं। हमें ऐसी व्यवस्था बनानी चाहिए जो वस्तुओं के क्रम को देखते हुए अलग-अलग हों। अन्यथा एक व्यवस्था एक अलग क्रमचय नहीं होगी।

आइए हम मान लें कि क्रमचय की वांछित संख्या xx है। इनमें से प्रत्येक क्रमचय में व्यवस्था के विभिन्न पदों में पीपी वस्तुएं हैं। आइए हम इनमें से एक xx व्यवस्था लेते हैं। इस व्यवस्था में, अगर हम इन pp ऑब्जेक्ट्स को अलग-अलग बनाते हैं, तो हमारे पास p! P होगा! xxchosen की विशिष्ट व्यवस्था के विशेष पदों के बीच अब इन विभिन्न पीपी वस्तुओं को पुनर्व्यवस्थित करने के तरीके।

इस प्रकार यदि हम pp वस्तुओं को अलग बनाते हैं, तो प्रत्येक xx व्यवस्था के लिए हमारे पास p! P होगा! नई व्यवस्था और हम मिमी से अलग-अलग वस्तु क्रमचय तक पहुंचेंगे। इसका मतलब है की,
mPm = m! = x × p! या, x = m! p! mPm = m! = x × p! or, x = m-p!

अंततः यह एक साधारण रिश्ता है - मिमी वस्तुओं में पीपी समान वस्तुओं के लिए, एमएम क्रमचय से बाहर मिमी एम-एम है! p! p से विभाजित!

अगर पीपी में समान वस्तुओं के अलावा मिमी में qq अधिक समान वस्तुएं हैं, तो हमें अपने पिछले क्रमचय को q / q से विभाजित करने की आवश्यकता है! इस प्रकार, मिमी वस्तुओं में पीपी, qq और rr एक जैसे वस्तुओं के लिए, मिमी क्रमचय से बाहर मिमी की संख्या है,
मीटर! पी! क्ष! r! मीटर! पी! क्ष! r!

प्रश्न 5: आप प्रत्येक अंक में दो बार दोहराते हुए 1, 2, 3, 4 और 5 में से कितने 6 अंकों की संख्याओं को बना सकते हैं?

हल:
1, 1, 2, 3, 4 और 5 से वांछित संख्या 6 में से 6 क्रमांक होगी। यहाँ 1 को दो बार दोहराया गया है। तो क्रमचय की वांछित संख्या है,
6! 2! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 12 × 1 = 3606! 2! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 12 × 1 = 360

प्रश्न 6: एक व्यक्ति अपने 2 दोस्तों के माध्यम से निमंत्रण कार्ड भेजकर कितने तरीकों से अपने 6 दोस्तों को आमंत्रित कर सकता है?

हल:
यह क्रमचय से एक अलग प्रकार की समस्या है। इस मामले में, व्यक्ति छह में से प्रत्येक के लिए दो नौकरों में से किसी को भेजने के लिए स्वतंत्र है। इस प्रकार, प्रत्येक मित्र अपने कार्ड को दो नौकरों से दो संभावित तरीकों से प्राप्त कर सकता है। चूंकि छह मित्र हैं, आवश्यक संख्या है,
2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 26 = 642 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 26 = 64

संचय

मूल अवधारणा

संचय nn अलग वस्तुओं के एक सेट से rr वस्तुओं का चयन है। इस मामले में, चयन के क्रम से जुड़ा कोई महत्व नहीं है। आरआर ऑब्जेक्ट्स के प्रत्येक अद्वितीय सेट ने एक संचय का चयन किया।
जैसा कि प्रत्येक ऐसे संचय में चयनित आरआर ऑब्जेक्ट्स को आर-आर! यूनिक तरीकों से आपस में ऑर्डर किया जा सकता है, अगर हम सभी कॉम्बिनेशन को इस तरह से ऑर्डर करते हैं तो हमें एनआर से अलग-अलग ऑब्जेक्ट्स से आरआर की परमीशन मिलेगी। इस प्रकार, r! R के साथ संचय की संख्या गुणा की गई! हमें क्रमचय की संख्या देता है।
इसलिए,
संयोजनों की संख्या,
nCr = क्रमचय की संख्या! nCr = क्रमचय की संख्या!
= N! R! (एन-आर)! = N! R! (एन-आर)!

प्रश्न 1: आप 5 उपलब्ध पुस्तकों में से 3 पुस्तकों का चयन कितने तरीकों से कर सकते हैं?

हल:
5 पुस्तकों में से 3 पुस्तकों का चयन किया जा सकता है,
5C3 = 5! 3! (5-3)! = 5! 3! 2! = 105C3 = 5! 3! (5-3)! = 5! 3! 2! = 10

प्रश्न 2: एक समिति बनाने के लिए 8 सदस्यों में से 4 सदस्यों को कितने तरीकों से चुना जा सकता है जैसे 1 सदस्य हमेशा चुना जाता है?

हल:
यदि 1 सदस्य हमेशा समिति में चुना जाता है, तो संचय पसंद समस्या को चुनकर (4 )1) = 3 (4 31) = 3 सदस्यों में से (8−1) = 7 (8−1) = 7 सदस्यों में बदल दिया जाता है । तरीकों की आवश्यक संख्या तब,
7C3 = 7! 3! (7-3)! = 7! 3! 4! = 357C3 = 7! 3! (7-3)! = 7! 3! 4! = 35

प्रश्न 3: 8 सदस्यों में से कितने सदस्यों को एक समिति बनाने के लिए चुना जा सकता है जैसे 2 सदस्यों को हमेशा बाहर रखा जाता है?

हल:
यदि दो सदस्यों को हमेशा बाहर रखा जाता है, तो चुनने के लिए सदस्यों की संख्या घट जाती है (8 )2) = 6 (8−2) = 6 और संचय की आवश्यक संख्या है,
6C4 = 6! 4! (6-4)! = 6! 4! 2! = 156C4 = 6! 4! (6-4)! = 6! 4! 2! = 15

Source: Read Source

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